126. Докажите тождество: а) $\left(a-\frac{4ab}{a+b}+b\right):(a-b)+1=\frac{2a}{a+b}$; б) $\left(\frac1{(a-2)^2}-\frac2{a^2-4}+\frac1{(a+2)^2}\right)(a^2-4)^2=16$; в) $\left(\frac{a-0.2b}{5a^2+ab+0.2b^2}+\frac{0.6ab}{5a^3-0.04b^3}+\frac{0.2}{a-0.2b}\right)\cdot\frac{5a-b}{2}=1$; г) $\left(\frac9{(x+3)^2}+\frac{18}{x^2-9}+\frac9{(x-3)^2}\right)\left(\frac{x}{3}-\frac3x\right)^2=4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 126. Докажите тождество: а) $\left(a-\frac{4ab}{a+b}+b\right):(a-b)+1=\frac{2a}{a+b}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

$a-\frac{4ab}{a+b}+b=\frac{(a+b)^2-4ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{a+b}$. После деления на $a-b$ и прибавления 1 получаем $\frac{a-b}{a+b}+1=\frac{2a}{a+b}$. Тождество доказано.
Поскольку $a^2-4=(a-2)(a+2)$, выражение в скобках равно $\left(\frac1{a-2}-\frac1{a+2}\right)^2=\frac{16}{(a^2-4)^2}$. Умножение на $(a^2-4)^2$ даёт 16.
В условии на фотографии дроби и знаки пункта в) читаются недостаточно отчётливо, поэтому достоверно восстановить тождество нельзя. Нужен более чёткий снимок этой строки.
Здесь $\frac{x}{3}-\frac3x=\frac{x^2-9}{3x}$. Приведение суммы в скобках к общему знаменателю даёт $\frac{36x^2}{(x^2-9)^2}$. Поэтому произведение равно $\frac{36x^2}{(x^2-9)^2}\cdot\frac{(x^2-9)^2}{9x^2}=4$. Тождество доказано.

Ответ: тождества а), б) и г) доказаны; для пункта в) требуется уточнить читаемую запись.