127 На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Решение:

Пусть 5 учёных имеют степень 3, а остальные \( n-5 \) учёных имеют степень 4. Согласно теореме о сумме степеней вершин графа, сумма степеней всех вершин должна быть чётной.

Сумма степеней: \( 5 × 3 + (n-5) × 4 \).

\( 15 + 4n - 20 = 4n - 5 \).

Для того чтобы \( 4n - 5 \) было чётным числом, \( 4n \) должно быть нечётным (так как чётное минус нечётное равно нечётному, а нечётное минус нечётное равно чётному). Однако \( 4n \) всегда является чётным числом, независимо от \( n \).

Следовательно, сумма степеней \( 4n - 5 \) всегда будет нечётной.

Таким образом, такое условие невозможно, так как сумма степеней всех вершин графа должна быть чётной.

Ответ: Нет, не могло.