128. Докажите, что если дробь \(\frac{a}{b}\) является квадратом дроби, то произведение \(ab\) можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Пусть \(a\) и \(b\) — целые числа, \(b\ne0\), и \(\frac{a}{b}=\left(\frac{m}{n}\right)^2\), где дробь \(\frac{m}{n}\) несократима. Тогда \(a n^2=b m^2\).

Так как \(m\) и \(n\) взаимно просты, из равенства следует, что существуют целые числа \(k\), для которых \(a=k m^2\) и \(b=k n^2\). Поэтому

\(ab=(k m^2)(k n^2)=(kmn)^2\).

Значит, произведение \(ab\) является квадратом целого числа.