13) (1 балл) В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD1 известно, что CA1 = 27, CD = 26, BC = 7. Найдите длину ребра DD1.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде все грани — прямоугольники, и все углы между ребрами, выходящими из одной вершины, прямые.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( C AA_1 \). По теореме Пифагора:

\[ CA_1^2 = AC^2 + AA_1^2 \]

Сначала найдем диагональ основания \( AC \) в прямоугольнике \( ABCD \). Треугольник \( ABC \) — прямоугольный, \( BC=7 \).

Так как \( ABCD \) — прямоугольник, \( AB = CD = 26 \).

По теореме Пифагора для \( \triangle ABC \):

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ AC^2 = 26^2 + 7^2 \]

\[ AC^2 = 676 + 49 \]

\[ AC^2 = 725 \]

Теперь вернемся к треугольнику \( C AA_1 \). В прямоугольном параллелепипеде \( AA_1 = DD_1 \), \( AA_1 \) — высота.

У нас есть \( CA_1 = 27 \) и \( AC^2 = 725 \).

\[ 27^2 = 725 + AA_1^2 \]

\[ 729 = 725 + AA_1^2 \]

\[ AA_1^2 = 729 - 725 \]

\[ AA_1^2 = 4 \]

\[ AA_1 = \sqrt{4} \]

\[ AA_1 = 2 \]

Так как \( DD_1 = AA_1 \), то \( DD_1 = 2 \).

Ответ: 2.