13. а) Решите уравнение cos 2x + sin²x = 0,75.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2x = 1 - 2sin²x.

Подставляем в уравнение:

\[ (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 0.75 \]

\[ 1 - \sin^2 x = 0.75 \]

\[ \sin^2 x = 1 - 0.75 \]

\[ \sin^2 x = 0.25 \]

\[ \sin x = \pm \sqrt{0.25} \]

\[ \sin x = \pm 0.5 \]

Это дает нам два случая:

1. \[ \sin x = 0.5 \]

Это означает, что \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] или \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \], где n - целое число.

2. \[ \sin x = -0.5 \]

Это означает, что \[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \] или \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \], где n - целое число.

Объединяя все решения, получаем:

\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \] и \[ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \], где k, n - целые числа.

Можно также записать в виде:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \]

Ответ: x = ±π/6 + πk, x = ±5π/6 + 2πn, где k, n ∈ Z