13. а) Решите уравнение \(\sin(4x-\pi)+2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=0\). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2};0\right]\).

а) Используем тождества \(\sin(4x-\pi)=-\sin 4x\) и \(\cos(2x-\frac{\pi}{2})=\sin 2x\):

\[-\sin 4x+2\sin^2 2x=0.\]

Так как \(\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x\), получаем

\[2\sin 2x(\sin 2x-\cos 2x)=0.\]

Отсюда либо \(\sin 2x=0\), то есть \(x=\frac{k\pi}{2}\), либо \(\sin 2x=\cos 2x\), то есть \(2x=\frac{\pi}{4}+k\pi\) и \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{2};0\right]\) из первого семейства подходят \(-\frac{\pi}{2}\) и \(0\), из второго — \(-\frac{3\pi}{8}\).

Ответ: а) \(x=\frac{k\pi}{2}\) или \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{\pi}{2},-\frac{3\pi}{8},0\).