14. В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) сторона основания \(AB\) равна 6, а боковое ребро \(SA\) равно 7. На ребре \(AC\) отмечена точка \(M\), а на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) — точка \(N\) так, что \(CM=CN=2\). а) Докажите, что сечение пирамиды \(SABC\) плоскостью \(SNM\) является равнобедренным треугольником. б) Найдите площадь сечения пирамиды \(SABC\) плоскостью \(SNM\).

Пусть \(Q=MN\cap AB\). Сечение плоскостью \(SNM\) — треугольник \(SMQ\): точки \(M\) и \(Q\) лежат в основании, а третья вершина — \(S\).

Так как основание равностороннее, \(AC=BC=AB=6\). Поэтому \(AM=4\), \(CN=2\), \(BN=8\). По теореме Менелая для прямой \(M Q N\), пересекающей прямые сторон треугольника \(ABC\),

\[\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BQ}{QA}=1,\qquad 2\cdot\frac14\cdot\frac{BQ}{QA}=1.\]

Значит, \(BQ:QA=2:1\), а поскольку \(AB=6\), получаем \(AQ=2\).

В равнобедренном треугольнике \(SAC\) высота из \(S\) к основанию \(AC\) делит его пополам. Её квадрат равен \(7^2-3^2=40\). Точка \(M\) отстоит от середины \(AC\) на 1, поэтому \(SM^2=40+1^2=41\).

Аналогично, в равнобедренном треугольнике \(SAB\) высота к \(AB\) имеет квадрат 40. Точка \(Q\), для которой \(AQ=2\), отстоит от середины \(AB\) на 1, поэтому \(SQ^2=40+1^2=41\). Следовательно, \(SM=SQ\), и сечение \(SMQ\) равнобедренное.

Угол \(MAQ\) равен \(60^\circ\). По теореме косинусов:

\[MQ^2=AM^2+AQ^2-2\cdot AM\cdot AQ\cos60^\circ=16+4-8=12,\]

значит, \(MQ=2\sqrt3\). Высота треугольника \(SMQ\), опущенная на основание \(MQ\), равна \(\sqrt{41-(\frac{2\sqrt3}{2})^2}=\sqrt{38}\). Тогда площадь сечения

\[S_{SMQ}=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt{38}=\sqrt{114}.\]

Ответ: а) сечение — равнобедренный треугольник \(SMQ\), где \(Q=MN\cap AB\); б) \(\sqrt{114}\).