15. Решите неравенство \(\frac{4\cdot5^{2x+1}-133\cdot10^x+25\cdot2^{2x+1}}{5^x-2^x}\geq0\).

Положим \(t=\left(\frac52\right)^x\). Тогда \(t>0\), а знаменатель исходной дроби равен \(2^x(t-1)\), поэтому необходимо исключить \(t=1\).

В числителе вынесем \(2^{2x}\):

\[4\cdot5^{2x+1}-133\cdot10^x+25\cdot2^{2x+1}=2^{2x}(20t^2-133t+50).\]

Множители \(2^x\) и \(2^{2x}\) положительны, поэтому неравенство равносильно

\[\frac{20t^2-133t+50}{t-1}\geq0,\qquad t>0,\quad t\ne1.\]

Найдём корни числителя:

\[20t^2-133t+50=0,\qquad D=133^2-4\cdot20\cdot50=117^2,\]

\[t=\frac{133\pm117}{40},\quad t=\frac25\text{ или }t=\frac{25}{4}.\]

С учётом знаков числителя и знаменателя неравенство выполняется при \(t\in[\frac25,1)\cup[\frac{25}{4},+\infty)\). Поскольку \(t=(\frac52)^x\) возрастает, этим промежуткам соответствуют \(x\in[-1,0)\) и \(x\in[2,+\infty)\).

Ответ: \(x\in[-1;0)\cup[2;+)\).