13) ABC — треугольник. AB = ?

По теореме косинусов для стороны \(AC=3\sqrt{5}\):

\[(3\sqrt{5})^2=AB^2+(3\sqrt{2})^2-2\cdot AB\cdot3\sqrt{2}\cdot\cos135^\circ.\]

Пусть \(AB=x\). Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:

\[45=x^2+18+6x,\]

\[x^2+6x-27=0.\]

Разложим на множители:

\[(x-3)(x+9)=0.\]

Длина стороны положительна, поэтому \(x=3\).

Ответ: \(AB=3\).