13. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Докажите, что М — середина AD.

Решение:

1. ABCD — параллелограмм. BM — биссектриса \( \angle B \), CM — биссектриса \( \angle C \). Точка M лежит на стороне AD.

2. Так как BM — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle ABM = \angle MBC \).

3. Так как ABCD — параллелограмм, то BC \( \parallel \) AD. Следовательно, \( \angle MBC = \angle BMA \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BM.

4. Из \( \angle ABM = \angle MBC \) и \( \angle MBC = \angle BMA \) следует, что \( \angle ABM = \angle BMA \). Значит, треугольник ABM — равнобедренный, и AB = AM.

5. Так как CM — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle BCM = \angle MCD \).

6. Так как ABCD — параллелограмм, то BC \( \parallel \) AD. Следовательно, \( \angle BCM = \angle CMD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CM.

7. Из \( \angle BCM = \angle MCD \) и \( \angle BCM = \angle CMD \) следует, что \( \angle MCD = \angle CMD \). Значит, треугольник CMD — равнобедренный, и CD = MD.

8. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD.

9. Из равенств AB = AM и CD = MD, и AB = CD следует, что AM = MD.

10. Следовательно, точка M делит сторону AD пополам, то есть M — середина AD.

Доказано