14. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка К — середина стороны ВС. Докажите, что АК — биссектриса угла BAD.

Решение:

1. ABCD — параллелограмм. BC = 2 AB. K — середина BC.

2. Из условия, что K — середина BC, следует, что BK = KC = \( \frac{1}{2} BC \).

3. Так как BC = 2 AB, то BK = KC = \( \frac{1}{2} (2 AB) = AB \).

4. Рассмотрим треугольник ABK.

5. Так как ABCD — параллелограмм, то AB \( \parallel \) DC и AD \( \parallel \) BC.

6. Так как AD \( \parallel \) BC, то \( \angle DAK = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK.

7. В треугольнике ABK мы имеем AB = BK (из шага 3).

8. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный.

9. В равнобедренном треугольнике ABK углы при основании равны: \( \angle BAK = \angle AKB \).

10. Мы получили, что \( \angle DAK = \angle AKB \) и \( \angle BAK = \angle AKB \).

11. Следовательно, \( \angle DAK = \angle BAK \).

12. Это означает, что AK делит угол BAD пополам.

13. Значит, AK — биссектриса угла BAD.

Доказано