10. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 10, DC = 25, AC = 56.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABM и CDM. \( \angle BAM = \angle DCM \) и \( \angle ABM = \angle CDM \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих AC и BD соответственно.

\( \angle AMB = \angle CMD \) как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники ABM и CDM подобны по трем углам.

Отношение сторон подобных треугольников равно отношению их площадей.

\( \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} \)

По условию \( AB = 10 \) и \( DC = 25 \).

\( \frac{10}{25} = \frac{AM}{MC} \)

Сократим дробь: \( \frac{2}{5} = \frac{AM}{MC} \).

Это означает, что \( AM = \frac{2}{5} MC \).

Также мы знаем, что \( AC = AM + MC = 56 \).

Подставим \( AM \) в уравнение:

\( \frac{2}{5} MC + MC = 56 \)

\( MC \left( \frac{2}{5} + 1 \right) = 56 \)

\( MC \left( \frac{2+5}{5} \right) = 56 \)

\( MC \cdot \frac{7}{5} = 56 \)

\( MC = 56 \cdot \frac{5}{7} \)

\( MC = 8 \cdot 5 = 40 \).

Ответ: 40