13. Марина загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 574. Какую цифру зачеркнула Марина? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть загаданное число — \( N \). Сумма цифр числа — \( S \). Тогда \( N - S = X \), где \( X \) — число, полученное после вычитания, в котором зачеркнули одну цифру. Известно, что \( X \) может быть 574.

Важное свойство: любое четырёхзначное число, из которого вычли сумму его цифр, делится на 9. Следовательно, \( X \) делится на 9.

Число 574 не делится на 9 (сумма цифр 5+7+4 = 16).

Рассмотрим возможные варианты числа \( X \), в которых одна цифра заменена на другую, и полученное число делится на 9.

Зачеркнутая цифра могла быть:

• 0: 5074, 5704, 5740. Ни одно из них не делится на 9.
• 1: 5174, 5714, 5741. Ни одно из них не делится на 9.
• 2: 5274, 5724, 5742. \( 5+2+7+4 = 18 \) — делится на 9. \( 5+7+2+4 = 18 \) — делится на 9. \( 5+7+4+2 = 18 \) — делится на 9.
• 3: 5374, 5734, 5743. Ни одно из них не делится на 9.
• 4: 5474, 5744, 5744. \( 5+7+4+4 = 20 \) - не делится на 9.
• 5: 5574, 5754, 5745. \( 5+5+7+4 = 21 \) - не делится на 9. \( 5+7+5+4 = 21 \) - не делится на 9. \( 5+7+4+5 = 21 \) - не делится на 9.
• 6: 5674, 5764, 5746. \( 5+7+6+4 = 22 \) - не делится на 9.
• 7: 5774, 5747. \( 5+7+7+4=23 \) - не делится на 9. \( 5+7+4+7=23 \) - не делится на 9.
• 8: 5874, 5784, 5748. \( 5+8+7+4=24 \) - не делится на 9.
• 9: 5974, 5794, 5749. \( 5+7+4+9=25 \) - не делится на 9.

Возможные числа, которые могли быть до зачеркивания: 5274, 5724, 5742.

Теперь нужно проверить, может ли такое число быть результатом вычитания суммы цифр из четырёхзначного числа. Разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9.

Если \( X = 5274 \), то \( N = 5274 + S \). \( 5274 \) делится на 9. Тогда \( N \) тоже делится на 9. \( N \) - четырёхзначное.

Если \( X = 5724 \), то \( N = 5724 + S \). \( 5724 \) делится на 9. Тогда \( N \) тоже делится на 9.

Если \( X = 5742 \), то \( N = 5742 + S \). \( 5742 \) делится на 9. Тогда \( N \) тоже делится на 9.

Проверим, какое из этих чисел могло быть получено из четырёхзначного числа вычитанием суммы цифр. Наибольшая возможная сумма цифр для четырёхзначного числа (9999) равна 36.

Если \( X = 5274 \), то \( N \) может быть от \( 5274 + 0 = 5274 \) до \( 5274 + 36 = 5310 \). \( N \) должно быть четырёхзначным. Например, если \( N=5274 \), сумма цифр = 18. \( 5274-18=5256 \) (не 5274). Если \( N = 5301 \), сумма цифр = 9. \( 5301 - 9 = 5292 \) (не 5274).

Если \( X = 5724 \), то \( N \) может быть от \( 5724 \) до \( 5724+36=5760 \). \( N \) должно быть четырёхзначным.

Если \( X = 5742 \), то \( N \) может быть от \( 5742 \) до \( 5742+36=5778 \). \( N \) должно быть четырёхзначным.

Рассмотрим, какая цифра могла быть зачеркнута, чтобы получить 574. Это могла быть цифра, которая в числе X давала бы сумму цифр, отличную от 9 (или кратную 9, но тогда бы число делилось на 9).

Вернёмся к тому, что \( N - S \) делится на 9. Значит, число, из которого зачеркнули цифру, должно было делиться на 9. Изначально, когда мы получили \( X \), оно должно было делиться на 9. Но 574 не делится на 9. Это означает, что зачеркнутая цифра не должна была влиять на делимость на 9, либо изменение делимости на 9 должно было произойти.

Свойство: \( N \equiv S \pmod{9} \). Значит \( N - S \equiv 0 \pmod{9} \). То есть, \( X \) должно делиться на 9. Но 574 не делится на 9. Значит, мы ищем число, которое при зачеркивании одной цифры из \( X \) становилось бы 574.

Пусть \( X \) - число до зачеркивания. \( X = abc \), где \( c \) - зачеркнутая цифра. \( 100a + 10b + c = 574 \) - это неверно, так как \( X \) - результат вычитания, а \( 574 \) - результат после зачеркивания.

Пусть \( X = d_3 d_2 d_1 d_0 \). \( X \) делится на 9. \( X - d_i = 574 \) (неверно, так как \( X \) — это число, из которого вычли одну цифру).

Пусть \( Y \) — число, полученное после зачеркивания цифры. \( Y = 574 \). \( Y \) получено из \( X \) путем зачеркивания цифры. \( X \) делится на 9.

Возможные варианты \( X \) (числа, близкие к 574, которые делятся на 9):

576 (5+7+6=18). Если зачеркнута цифра 2, получаем 576. Не 574.

567 (5+6+7=18). Если зачеркнута цифра 0, получаем 567. Не 574.

585 (5+8+5=18). Если зачеркнута цифра 1, получаем 585. Не 574.

594 (5+9+4=18). Если зачеркнута цифра 0, получаем 594. Не 574.

603 (6+0+3=9). Если зачеркнута цифра 0, получаем 603. Не 574.

612 (6+1+2=9). Если зачеркнута цифра 0, получаем 612. Не 574.

...

Нам нужно найти такое \( X \), которое делится на 9, и если из него зачеркнуть одну цифру, получится 574.

Возможные числа \( X \) (приблизительно 574, делящиеся на 9): 567, 576, 585, 594, 603, 612, 621, 630, 639, 648, 657, 666, 675, 684, 693, 702, 711, 720, 729, 738, 747, 756, 765, 774, 783, 792, 801, 810, 819, 828, 837, 846, 855, 864, 873, 882, 891, 900.

Рассмотрим числа, из которых можно получить 574, зачеркнув одну цифру:

1. Если зачеркнуть цифру из числа \( 57d4 \) или \( 5d74 \) или \( d574 \), где \( d \) — цифра, и это число делится на 9, и \( d \) — зачеркнутая цифра.

* 57_4: Чтобы делилось на 9, сумма цифр должна быть кратна 9. 5+7+4 = 16. Ближайшая кратная 9 — 18. Значит, пропущенная цифра 2. Число 5724. Сумма цифр = 18. Делится на 9. Зачеркнули 2, получили 574. Это возможно.

* 5_74: 5+7+4 = 16. Пропущенная цифра 2. Число 5274. Сумма цифр = 18. Делится на 9. Зачеркнули 2, получили 574. Это возможно.

* _574: 5+7+4 = 16. Ближайшая кратная 9 — 18. Пропущенная цифра 2. Число 2574. Сумма цифр = 18. Делится на 9. Зачеркнули 2, получили 574. Это возможно.

* 574_: 5+7+4 = 16. Ближайшая кратная 9 — 18. Пропущенная цифра 2. Число 5742. Сумма цифр = 18. Делится на 9. Зачеркнули 2, получили 574. Это возможно.

Теперь проверим, может ли \( N - S \) быть равным 5274, 5724 или 5742.

Пусть \( N = 1000a + 100b + 10c + d \). \( S = a+b+c+d \). \( N - S = 999a + 99b + 9c \). Это число всегда делится на 9.

Если \( X = 5724 \), то \( N = 5724 + S \). \( S \) — сумма цифр \( N \). \( N \) — четырёхзначное, значит \( S \) от 1 до 36.

Если \( N = 5724 + S \), то \( N \) должно быть больше 5724. \( S \) - сумма цифр \( N \). \( N \) может быть, например, 5724 + (5+7+2+4) = 5724 + 18 = 5742. Но \( N-S \) должно быть 5724, а не 5742. Это противоречие.

Попробуем методом подбора.

Если зачеркнутая цифра — 2, то исходное число X делилось на 9 и было близко к 574. Возможные X: 5724, 5274, 2574, 5742.

Проверим \( N - S = 5724 \). \( N \) должно быть четырёхзначное. \( S \) - сумма цифр \( N \). \( N \) должно быть больше 5724. \( N = 5724 + S \).

Пусть \( N = 5733 \). \( S = 5+7+3+3 = 18 \). \( N - S = 5733 - 18 = 5715 \) (не 5724).

Пусть \( N = 5742 \). \( S = 5+7+4+2 = 18 \). \( N - S = 5742 - 18 = 5724 \).

Итак, Марина загадала число \( N = 5742 \). Сумма цифр \( S = 5+7+4+2 = 18 \). \( N - S = 5742 - 18 = 5724 \). После этого Марина зачеркнула одну цифру из 5724 и получила 574. Зачеркнутая цифра — 2.

Ответ: 2.