13. Найдите величины всех углов треугольника MPK, если MK = KN и ∠M = 60°. Точка K лежит на отрезке MN, а KP ⟂ MN.

Так как точки M, K и N лежат на одной прямой, из условия MK = KN следует, что K — середина MN. Отрезок KP перпендикулярен MN, поэтому KP — серединный перпендикуляр к MN, а значит, PM = PN.

Треугольник MPN равнобедренный, и его угол при M равен 60°. Следовательно, угол при N тоже равен 60°, а угол при P — 60°. Значит, треугольник MPN равносторонний.

Точка K — середина основания MN равностороннего треугольника MPN. Высота PK является также биссектрисой угла P, поэтому делит угол 60° пополам: ∠MPK = 30°. В треугольнике MPK угол при K прямой, следовательно, ∠MKP = 90°.

Ответ: ∠PMK = 60°, ∠MPK = 30°, ∠MKP = 90°.