13 Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Решение:

1. Свойства пересекающихся окружностей:

Пусть окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D. Тогда отрезок CD является общей хордой этих окружностей.

2. Треугольники ECD и FCD:

Рассмотрим треугольники ECD и FCD. Отрезки EC, ED, FC, FD являются радиусами соответствующих окружностей. Поэтому EC = ED (как радиусы окружности с центром E) и FC = FD (как радиусы окружности с центром F).

3. Равнобедренные треугольники:

Треугольники ECD и FCD являются равнобедренными.

4. Пересечение хорды и линии центров:

Линия, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей (прямая EF), является серединным перпендикуляром к их общей хорде (отрезку CD). Это означает, что EF перпендикулярна CD и делит CD пополам.

5. Вывод:

Таким образом, прямая CD перпендикулярна прямой EF.

Доказано.