14 Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся так же, как a : b.

Решение:

Пусть окружности с центрами P и Q имеют радиусы \( r_1 \) и \( r_2 \) соответственно. Обозначим внутреннюю общую касательную как AB, где A — точка касания с первой окружностью, а B — с второй. Пусть точка пересечения касательной AB с отрезком PQ обозначена как C. По условию, \( PC : CQ = a : b \).

1. Прямоугольные треугольники:

Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной. Следовательно, \( PA \perp AB \) и \( QB \perp AB \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle PAC \) и \( \triangle QBC \).

2. Сходство треугольников:

Углы \( \angle PAC \) и \( \angle QBC \) равны \( 90^{\circ} \).

Углы \( \angle PCA \) и \( \angle QCB \) вертикальны, поэтому они равны.

Так как два угла в \( \triangle PAC \) равны соответствующим двум углам в \( \triangle QBC \), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

\( \triangle PAC \sim \triangle QBC \).

3. Отношение сторон:

Из подобия треугольников следует отношение их соответствующих сторон:

\( \frac{PA}{QB} = \frac{PC}{QC} \).

Подставляем известные значения:

\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{a}{b} \).

4. Отношение диаметров:

Диаметры окружностей равны \( d_1 = 2r_1 \) и \( d_2 = 2r_2 \). Отношение диаметров:

\( \frac{d_1}{d_2} = \frac{2r_1}{2r_2} = \frac{r_1}{r_2} \).

Следовательно,

\( \frac{d_1}{d_2} = \frac{a}{b} \).

Вывод:

Диаметры этих окружностей относятся так же, как \( a : b \).

Доказано.