13. Определите, являются ли равносильными следующие уравнения. Ответ обоснуйте. а) x + 5 = 0 и x² − 25 = 0; б) √(x − 1) = 3 и x − 1 = 9; в) (x − 3)(x + 2) = 0 и x² − x − 6 = 0; г) (x + 1)/(x − 1) = 0 и x + 1 = 0; д) √(x − 2) = x и x − 2 = x².

а) Первое уравнение имеет корень −5. Второе раскладывается на множители: \(x^2-25=(x-5)(x+5)\), его корни −5 и 5. Множества корней различаются.

б) В первом уравнении область определения: \(x\ge 1\). Возводим обе части в квадрат: \(x-1=9\), откуда \(x=10\). Во втором уравнении корень также \(x=10\). Уравнения равносильны.

в) Раскрываем скобки: \((x-3)(x+2)=x^2-x-6\). Уравнения совпадают, значит, равносильны.

г) В первом уравнении \(x\ne 1\), а дробь равна нулю, когда \(x+1=0\), то есть \(x=-1\). Второе уравнение также имеет корень \(x=-1\). Уравнения равносильны.

д) Для первого уравнения требуется \(x\ge2\). На этой области \(\sqrt{x-2}

Ответ: а) неравносильны; б), в), г), д) равносильны.