14. Определите, являются ли равносильными следующие неравенства. Ответ обоснуйте. а) x < −3 и x² < 9; б) √x > 2 и x > 4; в) x − 1 < 0 и x < 0; г) x² > 16 и (x < −4) или (x > 4); д) √(x + 1) < 3 и x + 1 < 9.

а) Первое неравенство задаёт \(x<-3\), второе — \(-3

б) Для корня нужно \(x\ge0\). При возведении обеих частей в квадрат получаем \(x>4\), что совпадает со вторым неравенством. Неравенства равносильны.

в) Первое неравенство равносильно \(x<1\), а второе задаёт \(x<0\). Решения различаются.

г) Из \(x^2>16\) следует \(|x|>4\), то есть \(x<-4\) или \(x>4\). Неравенства равносильны.

д) Первое неравенство требует \(x+1\ge0\). С учётом области определения оно равносильно \(-1\le x<8\). Второе равносильно \(x<8\); например, оно допускает \(x=-2\), для которого корень в первом неравенстве не определён. Неравенства неравносильны.

Ответ: а) неравносильны; б) равносильны; в) неравносильны; г) равносильны; д) неравносильны.