13. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Привет! Давай найдём площадь этой равнобедренной трапеции.

Что нам известно:

• Одно основание (меньшее), a = 8
• Другое основание (большее), b = 18
• Периметр трапеции, P = 56
• Трапеция равнобедренная, значит, боковые стороны равны (обозначим их c).

Шаг 1: Найдем длину боковой стороны (c).

Периметр — это сумма всех сторон трапеции: P = a + b + 2c.

Подставим известные значения:

56 = 8 + 18 + 2c

56 = 26 + 2c

56 - 26 = 2c

30 = 2c

c = 30 / 2

c = 15

Итак, длина каждой боковой стороны равна 15.

Шаг 2: Найдем высоту трапеции (h).

Чтобы найти высоту, проведём две высоты из концов меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок будет равен меньшему основанию (8), а два крайних отрезка будут равны между собой. Найдем длину одного такого крайнего отрезка:

\[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — это боковая сторона трапеции (c = 15)
• Один катет — это найденный отрезок (x = 5)
• Другой катет — это высота трапеции (h)

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = x^2 + h^2 \]

\[ 15^2 = 5^2 + h^2 \]

\[ 225 = 25 + h^2 \]

\[ h^2 = 225 - 25 \]

\[ h^2 = 200 \]

\[ h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \]

Высота трапеции равна 10√2.

Шаг 3: Найдем площадь трапеции.

Формула площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{8 + 18}{2} \times 10\sqrt{2} \]

\[ S = \frac{26}{2} \times 10\sqrt{2} \]

\[ S = 13 \times 10\sqrt{2} \]

\[ S = 130\sqrt{2} \]

Ответ: 130√2