Ответ:

  1. Осенью улетели грачи, а зимовать остались смелые воробьи. Запятая разделяет части сложного предложения перед союзом «а».
  2. Она снилась ему довольно часто, и в такие дни он по ней сильно скучал и даже забывал [неразборчивый фрагмент]. Запятая отделяет части сложного предложения; для оформления последнего фрагмента нужен более чёткий снимок.
  3. Хозяйка поглядела на неё и вспомнила своё прекрасное летнее время и свой первый бал. Однородные сказуемые и однородные дополнения соединены одиночными союзами «и», поэтому запятые не нужны.
  4. Она в этот день встала в 8 часов утра и целый день находилась в лихорадочной тревоге и деятельности. Запятая между частями не ставится: у них есть общий второстепенный член «в этот день».
  5. Не только в госпиталь, но даже близко к санчасти его не подпустили. Запятая ставится между частями парного союза «не только…, но…».