13. Решите неравенство 6x – x² > 0. В ответе укажите наибольшее целое решение данного неравенства.

Решение:

1. Запишем неравенство: \( 6x - x^2 > 0 \).
2. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(6 - x) > 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( x(6 - x) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).
4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 6) \), \( (6, +\infty) \).
5. Проверим знак выражения \( x(6 - x) \) на каждом интервале:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( -1(6 - (-1)) = -1(7) = -7 < 0 \).
   • При \( 0 < x < 6 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(6 - 1) = 1(5) = 5 > 0 \).
   • При \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \( 7(6 - 7) = 7(-1) = -7 < 0 \).
6. Неравенство \( x(6 - x) > 0 \) выполняется на интервале \( (0, 6) \).
7. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 5.

Ответ: 5.