13. Решите неравенство $$x^2 \geq 289$$.

Решение:

Решим неравенство $$x^2 \geq 289$$.

Это означает, что $$x^2 - 289 \geq 0$$.

Разложим левую часть как разность квадратов:

$$(x - 17)(x + 17) \geq 0$$

Найдем корни уравнения $$(x - 17)(x + 17) = 0$$:

$$x - 17 = 0 \implies x_1 = 17$$

$$x + 17 = 0 \implies x_2 = -17$$

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $$(-\infty; -17)$$, $$(-17; 17)$$, $$(17; +\infty)$$.

Проверим знак выражения $$(x - 17)(x + 17)$$ в каждом интервале:

• При $$x < -17$$ (например, $$x = -20$$): $$(-20 - 17)(-20 + 17) = (-37)(-3) = 111 > 0$$.
• При $$-17 < x < 17$$ (например, $$x = 0$$): $$(0 - 17)(0 + 17) = (-17)(17) = -289 < 0$$.
• При $$x > 17$$ (например, $$x = 20$$): $$(20 - 17)(20 + 17) = (3)(37) = 111 > 0$$.

Неравенство $$(x - 17)(x + 17) \geq 0$$ выполняется, когда $$x \leq -17$$ или $$x \geq 17$$.

В виде интервалов это записывается как $$(-\infty; -17] \cup [17; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -17] \cup [17; +\infty)$$