13 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Решение:

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \).

Пусть \( AC = A_1C_1 \) (равные катеты) и \( AB = A_1B_1 \) (равные гипотенузы).

Первый способ (достроение до равнобедренного треугольника):

1. Отложим на луче \( CB \) точку \( D \) так, чтобы \( BD = B_1D_1 \).
2. Соединим точки \( A \) и \( D \).
3. \( \triangle ABD \) — равнобедренный, так как \( AB = A_1B_1 \) и \( BD = B_1D_1 \), а \( \angle B = \angle B_1 \) (как острые углы прямоугольных треугольников с равными катетами и гипотенузами, или как углы при основании равнобедренных треугольников, если мы достроим до них).

Второй способ (теорема Пифагора):

1. По теореме Пифагора для \( \triangle ABC \): \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \).
2. Для \( \triangle A_1B_1C_1 \): \( B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 \).
3. Так как \( AB = A_1B_1 \) и \( AC = A_1C_1 \), то \( AB^2 = A_1B_1^2 \) и \( AC^2 = A_1C_1^2 \).
4. Следовательно, \( AB^2 - AC^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2 \), что означает \( BC^2 = B_1C_1^2 \).
5. Так как \( BC \) и \( B_1C_1 \) — длины отрезков, то \( BC = B_1C_1 \).
6. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), у которых \( AC = A_1C_1 \), \( BC = B_1C_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 = 90^{\circ} \).
7. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Ответ: Признак доказан.