13. Стороны AB, AD и AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны 5√3, 4 и 3 соответственно. Чему равна градусная мера угла ABD₁?

Рассмотрим треугольник ABD₁. Его стороны:

\(AB=5\sqrt{3}\), а диагональ грани \(AD₁\):

\[AD₁=\sqrt{AD^2+AA₁^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.\]

Диагональ параллелепипеда:

\[BD₁=\sqrt{AB^2+AD^2+AA₁^2}=\sqrt{75+16+9}=10.\]

По теореме косинусов для угла \(\angle ABD₁\):

\[\cos\angle ABD₁=\frac{AB^2+BD₁^2-AD₁^2}{2\cdot AB\cdot BD₁}=\frac{75+100-25}{2\cdot5\sqrt3\cdot10}=\frac{\sqrt3}{2}.\]

Следовательно, \(\angle ABD₁=30^\circ\).

Ответ: 30°.