15. Высоты CD и BH равнобедренного треугольника ABC с основанием AC равны 16 и 40 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Так как треугольник равнобедренный с основанием \(AC\), высота \(BH\) является также медианой. Обозначим \(AH=HC=x\). Тогда \(AC=2x\).

Площадь треугольника через основание и высоту \(BH\):

\[S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot2x\cdot40=40x.\]

Сторона \(AB\) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\[AB=\sqrt{x^2+40^2}=\sqrt{x^2+1600}.\]

Используем сторону \(AB\) и высоту \(CD=16\) для вычисления той же площади:

\[S=\frac12\cdot AB\cdot CD=8\sqrt{x^2+1600}.\]

Приравняем выражения для площади:

\[40x=8\sqrt{x^2+1600},\]

\[5x=\sqrt{x^2+1600},\]

\[25x^2=x^2+1600,\qquad 24x^2=1600,\qquad x^2=\frac{200}{3}.\]

Тогда

\[S=40x=40\sqrt{\frac{200}{3}}=\frac{800\sqrt3}{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{800\sqrt3}{3}\).