13. The numbers 4, 5, 6, … are consecutive numbers; for example, 4567 is a number with four consecutive digits. Find all the numbers with four consecutive digits that are divisible by: a) 2; b) 3; c) 5; d) 11.

Translation of the question: Числа 4, 5, 6, … — последовательные числа; например, 4567 — число с четырьмя последовательными цифрами. Найдите все числа с четырьмя последовательными цифрами, которые делятся на: а) 2; б) 3; в) 5; г) 11.

English: Taking “four consecutive digits” to mean digits in increasing order, the four-digit numbers are 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, and 6789.

1. Divisible by 2: The number must end in an even digit: 1234, 3456, 5678.
2. Divisible by 3: The digit sum must be divisible by 3. The sums are 10, 14, 18, 22, 26, 30; hence 3456 and 6789.
3. Divisible by 5: The number must end in 0 or 5. Only 2345 qualifies.
4. Divisible by 11: The difference between alternating digit sums is (k + k + 2) − (k + 1 + k + 3) = −2 for each number k(k+1)(k+2)(k+3), so none is divisible by 11.

Answer (English): a) 1234, 3456, 5678; b) 3456, 6789; c) 2345; d) none.

Перевод ответа: Если понимать «четыре последовательные цифры» как цифры в возрастающем порядке, получаем числа 1234, 2345, 3456, 4567, 5678 и 6789. а) 1234, 3456, 5678; б) 3456, 6789; в) 2345; г) таких чисел нет.