13. Тип 11 № 11336 i Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную вершину?

Разбираемся с задачей:

Нам нужно обойти все рёбра додекаэдра и вернуться в исходную точку. Задача похожа на задачу о китайском почтальоне.

• Додекаэдр — это многогранник, у которого 12 граней (пятиугольников), 30 рёбер и 20 вершин.
• Из каждой вершины додекаэдра выходит 3 ребра.
• Чтобы пройти все рёбра и вернуться в исходную точку, мы должны пройти каждое ребро либо один раз, либо дважды.
• Если бы из каждой вершины выходило четное число рёбер, то можно было бы пройти все рёбра ровно по одному разу.
• В додекаэдре из каждой вершины выходит 3 ребра (нечетное число).
• Чтобы сделать число выходящих рёбер из каждой вершины четным (и иметь возможность вернуться в исходную точку, пройдя каждое ребро ровно один раз), нам нужно «добавить» ребра.
• Каждое «добавленное» ребро будет проходить дважды (один раз как обычное ребро, второй раз — как «добавленное»).
• Количество вершин с нечетной степенью (то есть число выходящих рёбер) равно 20.
• Чтобы сделать все вершины с нечетной степенью имеющими четную степень, нам нужно пройти повторно половину из этих рёбер.
• То есть, нам нужно пройти повторно 20 / 2 = 10 рёбер.

Ответ: 10