13. Тип 13 № 4451. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. Запишите решение и ответ.

Так как BX = BY, треугольник BXY равнобедренный. Поэтому его углы при основании равны: \(\angle BXY=\angle BYX=(180^\circ-28^\circ)/2=76^\circ\).

Точки A, X, Y лежат на одной прямой, причём X находится между A и Y, поэтому \(\angle AXB=180^\circ-76^\circ=104^\circ\).

В треугольнике ABX равны стороны AX и BX. Значит, равны углы напротив них: \(\angle ABX=\angle BAX\). Поскольку AX лежит на AC, обозначим эти углы через \(\alpha\). Тогда \(2\alpha+104^\circ=180^\circ\), откуда \(\alpha=38^\circ\).

Из AB = AC следует, что треугольник ABC равнобедренный, и \(\angle ABC=180^\circ-2\cdot38^\circ=104^\circ\). При этом \(\angle ABY=\angle ABX+\angle XBY=38^\circ+28^\circ=66^\circ\).

Следовательно, \(\angle CBY=\angle ABC-\angle ABY=104^\circ-66^\circ=38^\circ\).

Ответ: 38°