13. Точки M и P лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка O — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники MNO и PQO. В них MN = PQ по условию, NO = OQ, поскольку O — середина NQ, а углы MNO и PQO прямые. Значит, треугольники равны по двум катетам. Отсюда OM = OP.

В треугольнике OMP равны стороны OM и OP, поэтому углы при основании равны: ∠OMP = ∠OPM.

б) Из равенства треугольников MNO и PQO следует, что ∠NOM = ∠POQ. Лучи ON и OQ — противоположные, поэтому ∠NOM + ∠MOP + ∠POQ = 180°. Обозначим ∠NOM через x. Тогда 2x + 105° = 180°, откуда x = 37,5°.

Ответ: а) ∠OMP = ∠OPM; б) ∠NOM = 37,5°.