№13. Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметром 25см и 35см. Найдите диаметр нового шара.

Решение задачи №13

Принцип решения: Объем нового шара будет равен сумме объемов двух исходных шаров. Объем шара рассчитывается по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \) или \( V = \frac{1}{6}\pi D^3 \), где \( R \) - радиус, \( D \) - диаметр.

Дано:

• Диаметр первого шара \( D_1 = 25 \) см.
• Диаметр второго шара \( D_2 = 35 \) см.

Найти: Диаметр нового шара \( D_{новый} \).

Решение:

1. Найдем радиусы исходных шаров:
• \( R_1 = D_1 / 2 = 25 \text{ см} / 2 = 12.5 \) см.
• \( R_2 = D_2 / 2 = 35 \text{ см} / 2 = 17.5 \) см.
2. Найдем объемы исходных шаров:
• \( V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi (12.5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi (1953.125 \text{ см}^3) \approx 2604.167\pi \text{ см}^3 \).
• \( V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (17.5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi (5359.375 \text{ см}^3) \approx 7145.833\pi \text{ см}^3 \).
3. Найдем общий объем:
• \( V_{общий} = V_1 + V_2 \approx 2604.167\pi \text{ см}^3 + 7145.833\pi \text{ см}^3 = 9750\pi \text{ см}^3 \).
4. Найдем радиус нового шара:
• \( V_{новый} = \frac{4}{3}\pi R_{новый}^3 \)
• \( 9750\pi \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi R_{новый}^3 \)
• Разделим обе части на \( \pi \) и умножим на \( 3/4 \):
• \( R_{новый}^3 = 9750 \cdot \frac{3}{4} = \frac{29250}{4} = 7312.5 \text{ см}^3 \).
• \( R_{новый} = \sqrt[3]{7312.5} \text{ см} \approx 19.42 \text{ см} \).
5. Найдем диаметр нового шара:
• \( D_{новый} = 2 \cdot R_{новый} \approx 2 \cdot 19.42 \text{ см} \approx 38.84 \text{ см} \).

Ответ: Диаметр нового шара составит примерно 38.84 см.