13. Укажите решение неравенства \( (x+3)(x-6) > 0 \)

Решение:

Данное неравенство является квадратичным. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения \( (x+3)(x-6) = 0 \).

Корни уравнения:

• \( x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3 \)
• \( x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6 \)

Теперь отметим эти корни на числовой прямой. Они делят числовую прямую на три интервала:

• \( (-\infty; -3) \)
• \( (-3; 6) \)
• \( (6; +\infty) \)

Определим знак выражения \( (x+3)(x-6) \) в каждом интервале. Возьмем пробную точку из каждого интервала:

• Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмем \( x = -4 \). \( (-4+3)(-4-6) = (-1)(-10) = 10 > 0 \). Знак: «+».
• Интервал \( (-3; 6) \): Возьмем \( x = 0 \). \( (0+3)(0-6) = (3)(-6) = -18 < 0 \). Знак: «-».
• Интервал \( (6; +\infty) \): Возьмем \( x = 7 \). \( (7+3)(7-6) = (10)(1) = 10 > 0 \). Знак: «+».

Неравенство \( (x+3)(x-6) > 0 \) требует, чтобы выражение было положительным. Поэтому нам нужны интервалы, где знак «+». Это интервалы \( (-\infty; -3) \) и \( (6; +\infty) \).

Объединение этих интервалов является решением неравенства.

Сравним полученное решение с предложенными вариантами:

• 1) \( (6;+\infty) \) — неполное решение.
• 2) \( (-3;+\infty) \) — неверно.
• 3) \( (-\infty;-3) \cup (6;+\infty) \) — полное и верное решение.
• 4) \( (-3;6) \) — неверно (это решение для \( (x+3)(x-6) < 0 \)).

Ответ: 3.