Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 13. Упростите выражение \(\frac{5ab}{a+5b}\) и найдите его значение при \(a=5\sqrt{2}+4, b=\sqrt{2}-8\).Фото задания

Ответ:

Задание 13. Упрощение выражения

Дано:

  • Выражение: \( \frac{5ab}{a+5b} \)
  • \( a = 5\sqrt{2}+4 \)
  • \( b = \sqrt{2}-8 \)

Решение:

  1. Подставим значения \( a \) и \( b \) в выражение: \[ \frac{5(5\sqrt{2}+4)(\sqrt{2}-8)}{(5\sqrt{2}+4)+5(\sqrt{2}-8)} \]
  2. Упростим числитель: \( 5(5\sqrt{2}+4)(\sqrt{2}-8) = 5(5 \cdot 2 - 40\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 32) = 5(10 - 36\sqrt{2} - 32) = 5(-22 - 36\sqrt{2}) = -110 - 180\sqrt{2} \)
  3. Упростим знаменатель: \( (5\sqrt{2}+4) + 5(\sqrt{2}-8) = 5\sqrt{2}+4+5\sqrt{2}-40 = 10\sqrt{2}-36 \)
  4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель: \[ \frac{-110 - 180\sqrt{2}}{10\sqrt{2}-36} \]
  5. Вынесем общий множитель из числителя: \( -10(11 + 18\sqrt{2}) \)
  6. Вынесем общий множитель из знаменателя: \( 2(5\sqrt{2}-18) \)
  7. Продолжим упрощение: \[ \frac{-10(11 + 18\sqrt{2})}{2(5\sqrt{2}-18)} = \frac{-5(11 + 18\sqrt{2})}{5\sqrt{2}-18} \]
  8. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя \( 5\sqrt{2}+18 \): \[ \frac{-5(11 + 18\sqrt{2})(5\sqrt{2}+18)}{(5\sqrt{2}-18)(5\sqrt{2}+18)} \]
  9. Раскроем скобки в числителе: \( -5(55\sqrt{2} + 198 + 18\sqrt{2} 5\sqrt{2} + 18 18) = -5(55\sqrt{2} + 198 + 180 + 324\sqrt{2}) = -5(115\sqrt{2} + 522) \)
  10. Раскроем скобки в знаменателе (разность квадратов): \( (5\sqrt{2})^2 - 18^2 = (25 2) - 324 = 50 - 324 = -274 \)
  11. Подставим обратно: \[ \frac{-5(115\sqrt{2} + 522)}{-274} = \frac{5(115\sqrt{2} + 522)}{274} \]
  12. Вынесем множитель 5 из числителя: \( \frac{5 115\sqrt{2} + 5 522}{274} = \frac{575\sqrt{2} + 2610}{274} \)

Ответ: \( \frac{2610 + 575\sqrt{2}}{274} \)