13. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Обозначим через D ежегодное уменьшение остатка долга между июнями. Если кредит погашен за n лет, остаток долга в июне после j-го года равен 5 − jD млн рублей. Январское увеличение на 20% и последующие выплаты дают сумму выплат за год, равную D + 0,2(5 − (j − 1)D).

Суммируя за n лет и учитывая, что после полного погашения nD = 5, получаем общую выплату 5 + 0,2 · 5(n + 1)/2 = 5,5 + 0,5n млн рублей. Приравниваем её к 7,5: 5,5 + 0,5n = 7,5, откуда n = 4.

Ответ: 4 года.