13. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на серединах рёбер A₁C₁ и BC отмечены точки M и N соответственно. а) Докажите, что плоскость AB₁M делит отрезок A₁N в отношении 2 : 3, считая от вершины A₁. б) Найдите объём пирамиды AMNB₁, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), C(3; 3√3; 0). Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны 4. Поэтому A₁(0; 0; 4), B₁(6; 0; 4), C₁(3; 3√3; 4).

Тогда M — середина A₁C₁, значит M(1,5; 1,5√3; 4), а N — середина BC, значит N(4,5; 1,5√3; 0).

а) Плоскость AB₁M проходит через начало координат. Из векторов AB₁ = (6; 0; 4) и AM = (1,5; 1,5√3; 4) получаем её уравнение: −2√3x − 6y + 3√3z = 0.

Точка P на A₁N, отсчитанная от A₁ с параметром t, имеет координаты P(4,5t; 1,5√3t; 4 − 4t). Подставим их в уравнение плоскости: −18√3t + 12√3(1 − t) = 0, откуда t = 2/5. Следовательно, A₁P : PN = 2/5 : 3/5 = 2 : 3.

б) Объём тетраэдра AMNB₁ равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов AM, AN и AB₁:

V = |(AM · (AN × AB₁))| / 6 = 54√3 / 6 = 9√3.

Ответ: а) A₁P : PN = 2 : 3; б) 9√3.