14. Решите неравенство 2log₍ₓ²₋₆ₓ₊₁₀₎(5x² + 3) ≤ log₍ₓ²₋₆ₓ₊₁₀₎(4x² + 7x + 3).

Основание логарифмов a = x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 должно быть положительным и не равным 1. Поэтому x ≠ 3. Аргументы логарифмов должны быть положительными. 5x² + 3 > 0 при любом x, а 4x² + 7x + 3 = (4x + 3)(x + 1) > 0 при x < −1 или x > −3/4.

При допустимых x основание a > 1, поэтому логарифм возрастает. Неравенство равносильно:

2logₐ(5x² + 3) ≤ logₐ(4x² + 7x + 3),
(5x² + 3)² ≤ 4x² + 7x + 3,
25x⁴ + 21x² − 7x + 6 ≤ 0.

Последнее выражение положительно при всех x: 25x⁴ + 21x² − 7x + 6 = 25x⁴ + 20x² + (x − 3,5)² − 6,25 + 6. Более просто, если |x| ≥ 1, то 25x⁴ − 7|x| + 6 > 0; если |x| < 1, то 21x² − 7x + 6 > 0, поскольку дискриминант этого квадратного трёхчлена равен 49 − 504 < 0 и старший коэффициент положителен. Значит, неравенство решений не имеет.

Ответ: решений нет.