13. В прямоугольном треугольнике ABC высота BD, проведённая к гипотенузе AC, равна 6 м, AB=9 м. Найдите BC.

Обозначим \(AD=x\), \(DC=y\). По свойствам высоты к гипотенузе:

\[BD^2=AD\cdot DC,\qquad AB^2=AD\cdot AC.\]

Получаем \(xy=36\), а так как \(AC=x+y\), то \(x(x+y)=81\).

Следовательно, \(x^2+xy=81\), откуда \(x^2+36=81\), \(x^2=45\), \(x=3\sqrt5\).

Тогда \(y=\dfrac{36}{3\sqrt5}=\dfrac{12\sqrt5}{5}\).

Используем теорему о катете: \(BC^2=DC\cdot AC=y(x+y)=\dfrac{324}{5}\).

\[BC=\sqrt{\frac{324}{5}}=\frac{18\sqrt5}{5}\text{ м}.\]

Ответ: \(\dfrac{18\sqrt5}{5}\) м.