№13. В трапеции МНКР ∠M = 90°, ∠K = 150°, HK = 2 см, диагональ MK перпендикулярна боковой стороне KP. Найдите среднюю линию трапеции.

В условии сторона обозначена как «КР»; далее используем именно это обозначение.

В порядке вершин М–Н–К–Р основания трапеции — HK и MR. Обозначим высоту через \(h\), а длину основания MR через \(x\). Расположим точки так: \(M=(0,0)\), \(H=(0,h)\), \(K=(2,h)\), \(R=(x,0)\). Это учитывает HK = 2 см и ∠M = 90°.

Угол \(\angle HKR=150°\), поэтому боковая сторона KR образует с горизонталью угол 30°. Следовательно, \(x-2=\sqrt{3}h\).

По условию диагональ MK перпендикулярна KR. Перпендикулярность векторов \((2,h)\) и \((x-2,-h)\) даёт:

\(2(x-2)-h^2=0\).

Подставим \(x-2=\sqrt{3}h\):

\(2\sqrt{3}h-h^2=0\), откуда \(h=2\sqrt{3}\), а \(x-2=6\). Значит, MR = 8 см.

Средняя линия равна полусумме оснований: \((2+8):2=5\) см.

Ответ: 5 см.