13. В треугольнике ABC известно, что BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC=84 и BC=BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, то \(AM=MC=42\).

Обозначим \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(HC=84-x\), \(MH=42-x\).

Из условия \(BC=BM\):

\[BC^2=(84-x)^2+h^2,\qquad BM^2=(42-x)^2+h^2.\]

Следовательно,

\[(84-x)^2=(42-x)^2.\]

\[84-x=42-x\quad\text{или}\quad 84-x=-(42-x).\]

Первый вариант невозможен, а из второго получаем:

\[84-x=x-42,\qquad 2x=126,\qquad x=63.\]

Ответ: \(AH=63\).