13. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 25 и BC = BM. Найдите AH.

Пусть AH = x. Поскольку BM — медиана, AM = MC = 25/2 = 12,5. Обозначим BH = h.

Из прямоугольных треугольников BHC и BHM и условия BC = BM получаем: (25 − x)² + h² = (12,5 − x)² + h².

Сокращаем h² и раскрываем скобки: (25 − x)² = (12,5 − x)². Так как длины положительны, 25 − x = x − 12,5; отсюда 2x = 37,5 и x = 18,75.

Ответ: AH = 18,75.