13. В угол АВС величиной 110° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках D и Е, где О — центр окружности. Найдите:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Поскольку окружность вписана в угол ABC, центр окружности O лежит на биссектрисе этого угла.
2. Шаг 2: Биссектриса делит угол пополам. Угол ABC = 110°, значит, угол OBA = угол OBC = \( \frac{110°}{2} = 55° \).
3. Шаг 3: OD и OE — радиусы окружности, проведенные в точки касания. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ODB = 90° и ∠OEB = 90°.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник ODB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \( ∠DOB + ∠OBD + ∠ODB = 180° \)
   \( ∠DOB + 55° + 90° = 180° \)
   \( ∠DOB + 145° = 180° \)
   \( ∠DOB = 180° - 145° = 35° \)
5. Шаг 5: Аналогично, рассмотрим треугольник OEB.
   \( ∠EOB + ∠OBE + ∠OEB = 180° \)
   \( ∠EOB + 55° + 90° = 180° \)
   \( ∠EOB = 35° \)
6. Шаг 6: Угол DOE — это сумма углов DOB и EOB.
   \( ∠DOE = ∠DOB + ∠EOB = 35° + 35° = 70° \)
7. Шаг 7: Теперь найдем угол ODE. Треугольник ODB — прямоугольный. Угол DOB = 35°, угол ODB = 90°.
   Угол ODE — это то же самое, что угол ODB, так как точка Е лежит на той же прямой, что и D, если рассматривать угол как часть плоскости. Однако, в данном контексте, точки D и E лежат на сторонах угла. OD — это радиус, касательная — это сторона угла. Угол ODB — это прямой угол, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
8. Шаг 8: Рассмотрим треугольник ODE. OD = OE (радиусы). Следовательно, треугольник ODE — равнобедренный. Углы при основании равны: ∠ODE = ∠OED.
9. Шаг 9: Мы нашли ∠DOE = 70°. Сумма углов в △ODE равна 180°.
   \( ∠ODE + ∠OED + ∠DOE = 180° \)
   \( ∠ODE + ∠ODE + 70° = 180° \)
   \( 2 imes ∠ODE = 180° - 70° \)
   \( 2 imes ∠ODE = 110° \)
   \( ∠ODE = \frac{110°}{2} = 55° \)

Ответ: А. Угол DOE = 70°, Б. Угол ODE = 55°