13. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада в млн рублей, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 12 млн рублей.

Обозначим первоначальный вклад через \(x\) млн рублей. Пополнения в начале третьего и четвёртого годов составляют в сумме 10 млн рублей; проценты начисляются ежегодно на сумму, находящуюся на вкладе в начале соответствующего года.

1. После первого года на счёте будет \(1.2x\).
2. После второго года — \(1.2^2x=1.44x\).
3. После пополнения на 5 млн в начале третьего года и начисления процентов: \(1.2(1.44x+5)\).
4. После пополнения на 5 млн в начале четвёртого года и начисления процентов итоговая сумма равна \(1.2\bigl(1.2(1.44x+5)+5\bigr)=2.0736x+13.2\).
5. Сумма начисленных процентов равна итоговой сумме минус первоначальный вклад и пополнения: \((2.0736x+13.2)-x-10=1.0736x+3.2\).
6. Требуется \(1.0736x+3.2>12\), откуда \(x>\frac{8.8}{1.0736}\approx8.20\). Так как \(x\) — целое число миллионов, наименьшее подходящее значение — 9.

Ответ: 9 млн рублей.