13. Вычислите: \( \frac{29}{15} + \frac{14}{27} \cdot 2 \frac{4}{7} + 2 \frac{1}{7} \). Запишите полностью решение и ответ.

Решение:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 2 \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7} \)
   \( 2 \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} \)
2. Выполним умножение:
   \( \frac{14}{27} \cdot \frac{18}{7} = \frac{14 \cdot 18}{27 \cdot 7} \)
3. Сократим дроби:
   \( \frac{2 \cdot \cancel{14}}{3 \cdot \cancel{27}} \cdot \frac{2 \cdot \cancel{18}}{\cancel{7}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \)
4. Теперь выражение выглядит так:
   \( \frac{29}{15} + \frac{4}{3} + \frac{15}{7} \)
5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15, 3 и 7 равен 105.
6. Приведем дроби:
   \( \frac{29}{15} = \frac{29 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{203}{105} \)
   \( \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 35}{3 \cdot 35} = \frac{140}{105} \)
   \( \frac{15}{7} = \frac{15 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{225}{105} \)
7. Сложим полученные дроби:
   \( \frac{203}{105} + \frac{140}{105} + \frac{225}{105} = \frac{203 + 140 + 225}{105} = \frac{568}{105} \)
8. Переведем неправильную дробь в смешанное число:
   \( 568 \div 105 = 5 \) с остатком \( 43 \).
   \( \frac{568}{105} = 5 \frac{43}{105} \)

Ответ: \( 5 \frac{43}{105} \)