14.13. Найдите область определения функции: 1) \(y=\sqrt{1-3x}\); 2) \(y=\frac{\sqrt{x-3}}{x+5}\); 3) \(y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4x-1}}\); 4) \(y=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x+1}\); 5) \(y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}\); 6) \(y=\frac{1}{\sqrt{2-3x}}-\sqrt{2x+1}\).

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Если корень стоит в знаменателе, его подкоренное выражение должно быть строго положительным; знаменатель дроби также не может равняться нулю.

1. \(1-3x\geq0\), откуда \(x\leq\frac13\). Область определения: \((−\infty;\frac13]\).
2. Нужно \(x-3\geq0\) и \(x+5\ne0\). Первое условие даёт \(x\geq3\), при этом знаменатель не обращается в ноль. Область определения: \([3;+\infty)\).
3. Нужно \(x+1\geq0\) и \(4x-1>0\). Совместно: \(x>\frac14\). Область определения: \((\frac14;+\infty)\).
4. Требуется одновременно \(2-x\geq0\) и \(3x+1\geq0\), то есть \(x\leq2\) и \(x\geq-\frac13\). Область определения: \([−\frac13;2]\).
5. Нужно \(x-3\geq0\) и \(3-x\geq0\). Оба условия выполняются только при \(x=3\). Область определения: \(\{3\}\).
6. Для дроби нужно \(2-3x>0\), а для второго корня — \(2x+1\geq0\). Получаем \(x<\frac23\) и \(x\geq-\frac12\). Область определения: \([−\frac12;\frac23)\).

Ответ: 1) \((−\infty;\frac13]\); 2) \([3;+\infty)\); 3) \((\frac14;+\infty)\); 4) \([−\frac13;2]\); 5) \(\{3\}\); 6) \([−\frac12;\frac23)\).