14. (2 балла) Решите уравнение: x - √x = 12.

Решение:

1. Перепишем уравнение, чтобы выделить корень: \( x - 12 = \sqrt{x} \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом нужно учесть, что \( x \geq 0 \) (из-за корня) и \( x - 12 \geq 0 \) (так как корень не может быть отрицательным), что означает \( x \geq 12 \).
   \[ (x - 12)^2 = (\sqrt{x})^2 \]
   \[ x^2 - 24x + 144 = x \]
3. Приведём уравнение к стандартному квадратному виду: \( ax^2 + bx + c = 0 \).
   \[ x^2 - 24x - x + 144 = 0 \]
   \[ x^2 - 25x + 144 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
   \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \]
5. Найдем корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
   \[ x_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
   \[ x_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
6. Проверим найденные корни на соответствие условию \( x \geq 12 \).
   Корень \( x_1 = 16 \) удовлетворяет условию \( 16 \geq 12 \).
   Корень \( x_2 = 9 \) не удовлетворяет условию \( 9 \geq 12 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: x = 16.