15. (3 балла) Решите уравнение: log2(3x) - 3log3(x) + 2 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, поэтому для его решения необходимо привести логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Выберем основание \( 3 \).

1. Применим формулу к \( \log_2(3x) \):
   \[ \log_2(3x) = \frac{\log_3(3x)}{\log_3(2)} \]
2. Разложим \( \log_3(3x) \) на два логарифма: \( \log_3(3x) = \log_3(3) + \log_3(x) = 1 + \log_3(x) \).
3. Подставим это обратно:
   \[ \log_2(3x) = \frac{1 + \log_3(x)}{\log_3(2)} \]
4. Исходное уравнение теперь выглядит так:
   \[ \frac{1 + \log_3(x)}{\log_3(2)} - 3\log_3(x) + 2 = 0 \]
5. Введём замену: пусть \( y = \log_3(x) \). Тогда уравнение примет вид:
   \[ \frac{1 + y}{\log_3(2)} - 3y + 2 = 0 \]
6. Умножим всё уравнение на \( \log_3(2) \), чтобы избавиться от знаменателя:
   \[ 1 + y - 3y \log_3(2) + 2\log_3(2) = 0 \]
7. Сгруппируем члены с \( y \) и свободные члены:
   \[ y(1 - 3\log_3(2)) = -1 - 2\log_3(2) \]
8. Выразим \( y \):
   \[ y = \frac{-1 - 2\log_3(2)}{1 - 3\log_3(2)} = \frac{1 + 2\log_3(2)}{3\log_3(2) - 1} \]
9. Теперь вернёмся к замене \( y = \log_3(x) \):
   \[ \log_3(x) = \frac{1 + 2\log_3(2)}{3\log_3(2) - 1} \]
10. Для упрощения числителя и знаменателя можно использовать свойства логарифмов:
    \( 1 = \log_3(3) \) и \( 2\log_3(2) = \log_3(2^2) = \log_3(4) \).
    \( 3\log_3(2) = \log_3(2^3) = \log_3(8) \).
    Тогда:
    \[ \log_3(x) = \frac{\log_3(3) + \log_3(4)}{\log_3(8) - \log_3(3)} = \frac{\log_3(3 \cdot 4)}{\log_3(\frac{8}{3})} = \frac{\log_3(12)}{\log_3(\frac{8}{3})} \]
11. Теперь применим формулу смены основания логарифма обратно: \( \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a \).
    \[ \log_3(x) = \log_{\frac{8}{3}}(12) \]
12. Следовательно, \( x = (\frac{8}{3})^{\log_{\frac{8}{3}}(12)} \).
13. По определению логарифма, \( a^{\log_a b} = b \).
    \[ x = 12 \]

Ответ: x = 12.