14. (2 балла) Решите задачу. За 3 ручки и 5 карандашей заплатили 93 рубля. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если карандаш дешевле ручки на 7 рублей?

Привет! Это задачка на составление системы уравнений. Давай разберемся по шагам.

1. Что нам известно?

• 3 ручки + 5 карандашей = 93 рубля.
• Карандаш дешевле ручки на 7 рублей.

2. Введем переменные:

• Пусть x — цена одной ручки (в рублях).
• Пусть y — цена одного карандаша (в рублях).

3. Составим уравнения на основе данных:

Из первого условия: 3x + 5y = 93

Из второго условия: Карандаш (y) дешевле ручки (x) на 7 рублей. Это значит, что если от цены ручки отнять 7 рублей, мы получим цену карандаша. Или, наоборот, цена ручки на 7 рублей больше цены карандаша.

x = y + 7 (цена ручки = цена карандаша + 7)

Или можно записать так: y = x - 7 (цена карандаша = цена ручки - 7)

Возьмем для удобства первое уравнение: x = y + 7.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} 3x + 5y = 93 \\ x = y + 7 \end{cases} \]

4. Решим систему уравнений:

Будем использовать метод подстановки. Возьмем второе уравнение (x = y + 7) и подставим его значение x в первое уравнение:

1. Подставляем x в первое уравнение:
• \[ 3(y + 7) + 5y = 93 \]
2. Раскрываем скобки и решаем относительно y:
• \[ 3y + 21 + 5y = 93 \]
• Складываем члены с y:
• \[ 8y + 21 = 93 \]
• Переносим 21 в правую часть:
• \[ 8y = 93 - 21 \]
• \[ 8y = 72 \]
• Делим обе части на 8:
• \[ y = \frac{72}{8} \]
• \[ y = 9 \]
3. Находим x: Теперь, когда мы знаем, что y = 9 (цена карандаша), найдем цену ручки (x), используя уравнение x = y + 7:
• \[ x = 9 + 7 \]
• \[ x = 16 \]

5. Проверка:

Цена ручки = 16 рублей. Цена карандаша = 9 рублей.

Проверим, подходит ли это к условию задачи:

• 3 ручки стоят 3 * 16 = 48 рублей.
• 5 карандашей стоят 5 * 9 = 45 рублей.
• Общая стоимость: 48 + 45 = 93 рубля. (Верно!)
• Разница в цене: 16 - 9 = 7 рублей. (Карандаш дешевле ручки на 7 рублей. Верно!)

Ответ: Ручка стоит 16 рублей, а карандаш — 9 рублей.