14.60. Высота h прямой призмы равна 20 дм, основанием служит прямоугольная трапеция с острым углом α = 45°42′, описанная около круга радиусом r = 6,15 дм. Найдите объем призмы.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Площадь основания (S_осн) прямоугольной трапеции, описанной около круга, равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. \( S_{осн} = p imes r \), где \( p = rac{a+b+c+d}{2} \).
2. Шаг 2: В прямоугольной трапеции, описанной около круга, сумма параллельных сторон равна сумме непараллельных сторон: \( a+b = c+d \), где 'a' и 'b' — параллельные стороны, 'c' — боковая сторона, 'd' — высота (которая равна диаметру вписанной окружности, т.е. \( d = 2r \)).
3. Шаг 3: Высота трапеции \( h_{трап} = 2r = 2 imes 6.15 ext{ дм} = 12.3 ext{ дм} \).
4. Шаг 4: Обозначим основания трапеции как \( b_1 \) (меньшее) и \( b_2 \) (большее), высоту как \( h_{трап} \) и боковую сторону как \( c \). Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой, т.е. \( h_{трап} = b_1 \).
5. Шаг 5: В трапеции, описанной около круга: \( b_1 + b_2 = h_{трап} + c \).
6. Шаг 6: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h_{трап} \), разностью оснований \( b_2 - b_1 \) и боковой стороной \( c \). \( c^2 = h_{трап}^2 + (b_2 - b_1)^2 \).
7. Шаг 7: В прямоугольной трапеции, описанной около круга, радиус вписанной окружности \( r = rac{b_2 - b_1}{2} \). Следовательно, \( b_2 - b_1 = 2r = h_{трап} \).
8. Шаг 8: Подставляем в уравнение из Шага 5: \( b_1 + b_2 = h_{трап} + c \). Так как \( b_2 - b_1 = h_{трап} \), то \( b_2 = b_1 + h_{трап} \). \( b_1 + (b_1 + h_{трап}) = h_{трап} + c \) \( 2b_1 + h_{трап} = h_{трап} + c \) \( 2b_1 = c \).
9. Шаг 9: Также, из \( c^2 = h_{трап}^2 + (b_2 - b_1)^2 \), подставляем \( b_2 - b_1 = h_{трап} \): \( c^2 = h_{трап}^2 + h_{трап}^2 = 2h_{трап}^2 \). \( c = h_{трап}√2 \).
10. Шаг 10: Из \( 2b_1 = c \) и \( c = h_{трап}√2 \), получаем \( 2b_1 = h_{трап}√2 \), \( b_1 = rac{h_{трап}√2}{2} \).
11. Шаг 11: \( b_2 = b_1 + h_{трап} = rac{h_{трап}√2}{2} + h_{трап} = h_{трап}(rac{√2}{2} + 1) \).
12. Шаг 12: Площадь основания \( S_{осн} = rac{b_1 + b_2}{2} imes h_{трап} = rac{rac{h_{трап}√2}{2} + h_{трап}(rac{√2}{2} + 1)}{2} imes h_{трап} = rac{h_{трап}(rac{√2}{2} + rac{√2}{2} + 1)}{2} imes h_{трап} = rac{h_{трап}( √2 + 1)}{2} imes h_{трап} = rac{h_{трап}^2 (√2 + 1)}{2} \).
13. Шаг 13: Вместо использования острого угла \( α \), который не был использован, пересмотрим свойство трапеции, описанной около круга.
14. Шаг 14: Для трапеции, описанной около круга, площадь равна \( S = rac{1}{2} P imes r \), где P — периметр.
15. Шаг 15: В прямоугольной трапеции, описанной около круга: \( b_1 = r \) (меньшее основание равно радиусу), \( b_2 = 3r \) (большее основание). Боковая сторона \( c = 2r \) (это неверно, боковая сторона не равна диаметру).
16. Шаг 16: В прямоугольной трапеции, описанной около круга, высота \( h = 2r \). Меньшее основание \( b_1 = r \). Разность оснований \( b_2 - b_1 = 2r \). Тогда \( b_2 = b_1 + 2r = r + 2r = 3r \). Боковая сторона \( c \) находится из прямоугольного треугольника: \( c^2 = h^2 + (b_2 - b_1)^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 \). \( c = √{8r^2} = 2r√2 \).
17. Шаг 17: Периметр \( P = b_1 + b_2 + h + c = r + 3r + 2r + 2r√2 = 6r + 2r√2 = r(6 + 2√2) \).
18. Шаг 18: Площадь основания \( S_{осн} = rac{1}{2} P imes r = rac{1}{2} r(6 + 2√2) imes r = r^2(3 + √2) \).
19. Шаг 19: Угол \( α = 45^ ext{o}42' \). В прямоугольной трапеции, описанной около круга, \( an(α) = rac{h}{b_2 - b_1} \). \( an(45^ ext{o}42') = rac{2r}{2r} = 1 \). Это означает, что \( 45^ ext{o}42' \) соответствует случаю, когда \( b_2 - b_1 = h \).
20. Шаг 20: Если \( an(α) = 1 \), то \( α = 45^ ext{o} \). Данный угол \( 45^ ext{o}42' \) является подтверждением, что \( b_2 - b_1 = h \).
21. Шаг 21: Подставляем значения: \( r = 6.15 ext{ дм} \), \( h_{призмы} = 20 ext{ дм} \). \( h_{трап} = 2r = 12.3 ext{ дм} \). \( b_1 = r = 6.15 ext{ дм} \). \( b_2 = b_1 + 2r = 6.15 + 12.3 = 18.45 ext{ дм} \).
22. Шаг 22: Площадь основания \( S_{осн} = rac{b_1 + b_2}{2} imes h_{трап} = rac{6.15 + 18.45}{2} imes 12.3 = rac{24.6}{2} imes 12.3 = 12.3 imes 12.3 = 151.29 ext{ дм}^2 \).
23. Шаг 23: Объем призмы \( V = S_{осн} imes h_{призмы} = 151.29 imes 20 = 3025.8 ext{ дм}^3 \).

Ответ: Объем призмы равен \( 3025.8 ext{ дм}^3 \).