14.61. Определите объем правильной n-угольной пирамиды, боковое ребро которой имеет длину b и наклонено к плоскости ее основания под углом β (n = 8, b = 3,5 м, β = 78°39′).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Объем пирамиды \( V = rac{1}{3} S_{осн} imes h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.
2. Шаг 2: Основание — правильный n-угольник (восьмиугольник, \( n=8 \)). Площадь правильного n-угольника равна \( S_{осн} = rac{1}{2} n R^2 ext{sin}(rac{2π}{n}) \), где \( R \) — радиус описанной окружности.
3. Шаг 3: Боковое ребро \( b \) наклонено к плоскости основания под углом \( eta \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза \( b \)), высотой пирамиды (катет \( h \)) и радиусом описанной окружности основания (катет \( R \)).
4. Шаг 4: По условию, \( eta \) — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Значит, \( rac{h}{b} = rac{ ext{прилежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = rac{h}{b} \). Это означает \( rac{h}{b} = ext{cos}(eta) \), следовательно, \( h = b ext{cos}(eta) \).
5. Шаг 5: Также, \( rac{R}{b} = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = rac{R}{b} \). Это означает \( rac{R}{b} = ext{sin}(eta) \), следовательно, \( R = b ext{sin}(eta) \).
6. Шаг 6: Подставляем известные значения: \( n=8 \), \( b = 3.5 ext{ м} \), \( eta = 78^ ext{o}39' \). \( eta = 78 + rac{39}{60} = 78.65^ ext{o} \).
7. Шаг 7: Вычисляем высоту: \( h = 3.5 imes ext{cos}(78.65^ ext{o}) ≈ 3.5 imes 0.1965 ≈ 0.68775 ext{ м} \).
8. Шаг 8: Вычисляем радиус описанной окружности: \( R = 3.5 imes ext{sin}(78.65^ ext{o}) ≈ 3.5 imes 0.9799 ≈ 3.43 ext{ м} \).
9. Шаг 9: Вычисляем площадь основания: \( S_{осн} = rac{1}{2} imes 8 imes (3.43)^2 imes ext{sin}(rac{2π}{8}) = 4 imes 11.7649 imes ext{sin}(rac{π}{4}) = 47.0596 imes rac{√2}{2} ≈ 47.0596 imes 0.7071 ≈ 33.275 ext{ м}^2 \).
10. Шаг 10: Вычисляем объем пирамиды: \( V = rac{1}{3} S_{осн} imes h = rac{1}{3} imes 33.275 imes 0.68775 ≈ 7.646 ext{ м}^3 \).

Ответ: Объем пирамиды примерно равен \( 7.646 ext{ м}^3 \).