14.62. Основанием пирамиды служит трапеция, у которой каждая из боковых сторон и меньшая из параллельных имеют длину а, а острые углы равны а. Боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол ф. Найдите объем этой пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Объем пирамиды \( V = rac{1}{3} S_{осн} imes h \).
2. Шаг 2: Основание — равнобедренная трапеция. Меньшее основание \( b_1 = a \). Боковые стороны \( c = a \). Острые углы при большем основании равны \( α \).
3. Шаг 3: Проведем высоты из концов меньшего основания на большее. Получим прямоугольные треугольники с гипотенузой \( a \) и острым углом \( α \).
4. Шаг 4: Высота трапеции \( h_{трап} = a ext{sin}(α) \).
5. Шаг 5: Отрезок на большем основании, прилежащий к острому углу, равен \( a ext{cos}(α) \).
6. Шаг 6: Большее основание \( b_2 = b_1 + 2 imes (a ext{cos}(α)) = a + 2a ext{cos}(α) = a(1 + 2 ext{cos}(α)) \).
7. Шаг 7: Площадь основания \( S_{осн} = rac{b_1 + b_2}{2} imes h_{трап} = rac{a + a(1 + 2 ext{cos}(α))}{2} imes a ext{sin}(α) = rac{a(2 + 2 ext{cos}(α))}{2} imes a ext{sin}(α) = a(1 + ext{cos}(α)) imes a ext{sin}(α) = a^2 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α)) \).
8. Шаг 8: Боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол \( φ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (\( h_{пир} \)), радиусом описанной окружности основания (\( R \)) и боковым ребром (\( l \)). \( rac{h_{пир}}{R} = an(φ) \), следовательно, \( h_{пир} = R an(φ) \).
9. Шаг 9: Для нахождения радиуса описанной окружности около трапеции используется формула \( R = rac{c imes d imes e}{4 S_{осн}} \), где \( c, d, e \) — стороны трапеции. В нашем случае \( R = rac{a imes a imes b_2}{4 S_{осн}} = rac{a^2 imes a(1 + 2 ext{cos}(α))}{4 a^2 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α))} = rac{a(1 + 2 ext{cos}(α))}{4 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α))} \).
10. Шаг 10: Это формула для радиуса описанной окружности около произвольного четырехугольника. Для равнобедренной трапеции есть более простая формула, но она также сложна.
11. Шаг 11: Уточним условие: «Боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол ф». Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
12. Шаг 12: Подставим \( R \) в формулу высоты: \( h_{пир} = rac{a(1 + 2 ext{cos}(α))}{4 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α))} imes an(φ) \).
13. Шаг 13: Объем пирамиды: \( V = rac{1}{3} S_{осн} imes h_{пир} = rac{1}{3} a^2 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α)) imes rac{a(1 + 2 ext{cos}(α))}{4 ext{sin}(α)(1 + ext{cos}(α))} imes an(φ) \).
14. Шаг 14: Сокращаем \( ext{sin}(α) \) и \( (1 + ext{cos}(α)) \): \( V = rac{1}{3} a^2 imes rac{a(1 + 2 ext{cos}(α))}{4} imes an(φ) = rac{a^3 (1 + 2 ext{cos}(α))}{12} an(φ) \).

Ответ: Объем пирамиды равен \( rac{a^3 (1 + 2 ext{cos}(α))}{12} an(φ) \).