14. а) Решите уравнение \(15^{\sin x}=5^{\sin x}\cdot 3^{-\sqrt{3}\cos x}\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).

а) Разложим основание: \(15=3\cdot5\). Тогда

\(3^{\sin x}5^{\sin x}=5^{\sin x}3^{-\sqrt{3}\cos x}\).

Делим обе части на положительное число \(5^{\sin x}\) и приравниваем показатели одинаковых оснований:

\(3^{\sin x}=3^{-\sqrt{3}\cos x}\), значит \(\sin x=-\sqrt{3}\cos x\).

При \(\cos x=0\) исходное равенство не выполняется. В остальных случаях получаем \(\tan x=-\sqrt{3}\), поэтому \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Подставим общий корень в заданный промежуток:

\(\frac{5}{2}\le -\frac{1}{3}+k\le4\), откуда \(\frac{17}{6}\le k\le\frac{13}{3}\). Следовательно, \(k=3\) или \(k=4\).

Ответ: а) \(x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{8\pi}{3},\ \frac{11\pi}{3}\).